Q $g(x)$ 是定义在 $ [0,1] $ 上的函数，满足 $ g(0)=1,g(1)=0 $，如果函数 $ g(x)+ \tan x $ 单调上升，证明：$ g(x) $可以取到 $ [0,1] $ 内任意的值.
Proof 考虑更一般的问题：
$ f(x) $ 是 $ [0,1] $ 上的连续函数， $g(x)$ 是定义在 $ [0,1] $ 上的函数，满足 $ g(0)>0,g(1)<0 $，如果函数 $ f(x) + g(x) $ 单调上升，证明：$ g(x) $ 有零点.
这类问题的一般解决方法：Lebesgue方法.
考虑构造集合 $ A={x \mid g(x) \geqslant 0} $，我们取 $ c=\sup A $ 并证明 $ c $ 就是 $ g(x) $ 的零点.
- $ t>c $ 时，
$$ f(t)\geqslant f(t)+g(t)\geqslant f(c)+g(c) $$
这说明 $ g(c)\leqslant f(t)-f(c) $，
两边取 $ t\to c $ 的极限，由于 $ f(x) $ 连续， $ g(c)\leqslant 0 $.
- $ t<c $ 时，类似得到
$$ f(t)\leqslant f(t)+g(t)\leqslant f(c)+g(c)$$
这说明 $ g(c)\geqslant f(t)-f(c) $，
两边取 $ t\to c $ 的极限，由于 $ f(x) $ 连续， $ g(c)\geqslant 0 $.
综上， $ g(c)=0 $，即 $ c $ 是 $ g(x) $ 的零点.
回到原问题，对于任意的 $\eta \in [0,1] $ 取 $ f(x)=\tan x $，$ h(x)=g(x)-\eta $，对于 $ f(x) $ 和 $ h(x) $ 应用上面的结论，我们知道 $ h(x) $ 有零点，即 $ g(x) $ 可以取到 $ [0,1] $ 内任意的值.